【陳克恭、馬如云】太極圖的數(shù)學表達
太極圖的數(shù)學表達
作者：陳克恭、馬如云
來源：《光明日報》
時間：孔子二五六七年歲次丙申九月十七日壬申
耶穌2016年10月17日
圖1 勾股定理和圓的幾何圖
圖2
圖3
圖4
圖5-1
圖5-2
圖6
圖7 式（5）所表達的中國太極陰陽標準圖（陰陽面積之和為1，陰陽反向值之和為1）
一
人歷三圣，世歷三古的《周易》經(jīng)傳極深研幾，體大思精，代表著中國古代哲學的最高智慧。孔子說：“圣人立象以盡意，設卦以盡情偽，系辭焉以盡其言。變而通之以盡利，鼓之舞之以盡神?！薄兑讉鳌は缔o上》解釋說：“乾坤，其《易》之缊邪？乾坤成列，而《易》立乎其中矣。乾坤毀，則無以見《易》?！兑住凡豢梢?，則乾坤或幾乎息矣。是故形而上者謂之道，形而下者謂之器，化而裁之謂之變，推而行之謂之通，舉而錯之天下之民謂之事業(yè)。是故夫象，圣人有以見天下之賾，而擬諸其形容，象其物宜，是故謂之象。圣人有以見天下之動，而觀其會通，以行其典禮，系辭焉以斷其吉兇，是故謂之爻。極天下之賾者存乎卦，鼓天下之動者存乎辭，化而裁之存乎變，推而行之存乎通。”以乾坤立象，是《周易》會通天道與人道的基本路徑，而太極圖正是體現(xiàn)“一陰一陽”互補原理自洽性的最準確的表現(xiàn)形式。自宋代理學家周敦頤著《太極圖說》以后，在《周易》闡釋史上，太極圖就具有了獨特的意義。真理總是歷久彌新。我們甚至可以從量子力學的創(chuàng)始人玻爾與太極圖之間千絲萬縷的聯(lián)系中清晰地體味到太極圖的意義。玻爾努力用太極圖表達量子場的對應原理和并協(xié)原理，并把太極圖刻成徽章懸掛，這至少說明太極圖與玻爾的學說具有共通性。玻爾的“并協(xié)原理”強調(diào)“互斥即互補”，“對立者是相互補充的”，正是《易傳·系辭上》“一陰一陽之謂道”所彰顯的對立統(tǒng)一的原理?！皩怼苯忉屃孔蝇F(xiàn)象與經(jīng)典物理之間的對應關系，如果否定這一原理與《周易》的哲學體系之間有任何聯(lián)系，那就意味著否定了《周易》思想所具有的廣度和深度。事實上長期以來，國內(nèi)學術界一直存在否定玻爾“并協(xié)原理”與太極圖之間有密切關系的觀點。這種觀點的存在或多或少都源于對太極圖科學性認識的欠缺，從一個側面反映出20世紀以來對中國古代文明缺乏應有的敬畏，以及對中國古代哲學思想的科學性自信之不足。
二
太極圖的S曲線，并不是隨意性的美工圖，它實際上貫徹了以勾股定理為基礎的中國古代數(shù)學智慧。
中國人對勾股定理的描述，最少可以上溯至三千年前西周初年的商高，而古巴比倫人應用勾股定理，大約在公元前三千年前。公元前六世紀古希臘人畢達哥拉斯對勾股定理的證明，使勾股定理在歐洲有了“畢達哥拉斯定理”的名稱。如果從勾股定理入手，通過單位正方形內(nèi)的內(nèi)切圓，應用阿基米德定理的杠桿平衡原理和模糊數(shù)學的核心思想，可以用一個初等函數(shù)精確地表達太極圖的S曲線。這一論證將表明，太極圖是可以用數(shù)學語言表達的，并不是無標準方程、無標準幾何圖形的。其意義不僅在于充分表達了中國太極圖的科學性，也充分表達了太極圖反映事物存在和發(fā)展的本根依據(jù)。
一般來說，我們認為，當一條線段繞著它的一個端點在平面內(nèi)旋轉一周時，它的另一端的軌跡叫作圓；在同一平面內(nèi)，到定點的距離等于定長的點的集合叫圓。圓的定義也可由眾所周知的勾股定理而得，“一個直角三角形兩個直角邊的平方之和等于斜邊的平方”，也就是說，當斜邊定長時，兩個直角邊此消彼長的點的集合恰恰就是圓的軌跡。幾何圖形如圖1，代數(shù)表達式為：
a2+b2=c2，或(a/c)2+(b/c)2=1（1）
我國東漢末的數(shù)學家趙爽在注《周髀算經(jīng)》時就說：“勾股各自乘，并之為弦實。開方除之，即弦。” 趙爽并依此還創(chuàng)造了“勾股圓方圖”。
若用x和y分別表示兩個直角邊與斜邊所對應正方形面積的商值，并分別定義這個商值為這個三角形的陽值和陰值：
即令x=a2/c2,y=b2/c2
則有x+y=1（2）
這意味著無論兩個直角邊怎樣變化，其商值之和恒等于“1”，即它們的陽值和陰值之和恒等于“1”。其幾何形式如圖2。
∵a,b∈(0，c)，∴x,y∈(0，1).
x=a2/c2=(c2-b2)/c2=sin2α
=(1-cos2α)/2:=P(α)
α∈(-∞，+∞)
y=b2/c2=(c2-a2)/c2=cos2α
=(1+cos2α)/2:=N(α)
α∈(-∞，+∞)(3)
如果說式（1）和圖1是歐幾里得幾何的基石，那么圖2和式（2）則提出了模糊集合的概念，開啟了現(xiàn)代數(shù)學的發(fā)展之路。把它們聯(lián)系起來，則有如下概念：
勾股定理的本質內(nèi)涵是指一個單位直角三角形的斜邊所對應的面積恒等于兩個直角邊所對應的面積之和。我們假定可以選擇一個特定的城市，如甘肅省張掖市。這個城市由沙漠和綠洲兩部分構成，有水即為綠洲，無水則為沙漠，但沙漠面積和綠洲面積之和總不會變。若把張掖這個城市的總面積看作一個單位面積“一”，那么，綠洲面積和沙漠面積之和則恒等于“1”，當綠洲面積變大時，沙漠面積就會變小，反之亦然（圖４）。而這個此消彼長的點的集合恰恰就是圓的軌跡。
又因為x=1-y，y=1-x，說明陽函數(shù)和陰函數(shù)相反相成、偶對平衡、對立統(tǒng)一，像量子糾纏一樣，總是彼此以對方的存在為依據(jù)，相互糾纏、相互疊加，總值恒等于“1”，即綠洲面積是關于沙漠面積的偏差值，而沙漠面積是關于綠洲面積的偏差值，它們的偏差值之和恒等于“1”。然而，張掖的大部分區(qū)域是在綠洲和沙漠之間，就像是在x+y=1這條線段上的點一樣，總處于［0，1］這個區(qū)間內(nèi)，所不同的是相對于某一個平衡值而言，是綠洲屬性更強一點，還是沙漠屬性更強一點。對于一個系統(tǒng)，我們完全可以在某一單純屬性上，就兩個相反相成的狀態(tài)，進行集合分類，就像土壤的含水量可以分為干濕兩個相反相成的集合，經(jīng)濟運行狀態(tài)也可以分為積累和消費兩個相反相成的集合。大道至簡，簡而言之，就像我們對待一切事物的主觀態(tài)度一樣，都可以以某一個客觀平衡值，將事物分為正反、白黑、上下、左右、大小、輕重，甚至是好和壞兩個相反相成的狀態(tài)進行集合分類（我們可以將此集合分類法記為：↑0↓）。盡管如此，但事物狀態(tài)的真實存在大多是在黑白的區(qū)間內(nèi)，不是簡單的非白即黑的羅素悖論，而更多的是亦白亦黑，所不同的是黑白大小比例不同而已，這也是模糊數(shù)學之由來。
如此看來，弦、勾股定理和圓的本質內(nèi)涵是一致的，動則為圓，靜則為矩，都是關于“一”的哲學和科學。實際上，源于我國魏晉時期的玄學，已經(jīng)是在先秦易學思想“一陰一陽之謂道”“道生一，一生二，二生三，三生萬物”關于陰陽消長、此消彼長的哲學思辨和《周髀算經(jīng)》《九章算術》關于圓、勾股定理的數(shù)形學理分析基礎之上才興起的，它一直深刻地影響著中國后期的文化。中國的水墨畫就是這一思想的典型代表，如果說把黑白定義為0和1或者陰和陽，那么，大千世界就會隨著墨香的濃淡深淺在黑白之間，在［0，1］的區(qū)間內(nèi)，在陰陽此消彼長的變化中惟妙惟肖地飄逸呈現(xiàn)出來，把人帶入天地間的無限遐想之中。從這個角度講，我們完全有理由說，中國的水墨畫就是一張陰陽圖，就是一張模糊數(shù)學的集合圖。不僅如此，它也是辯證唯物主義“一分為二”的數(shù)學模型圖，視事物為一個相反相成的矛盾統(tǒng)一體↑0↓，矛盾著的兩個方面相互作用此消彼長推動事物的發(fā)展。
三
在圖2中，如果以P點為圓心，以該正方形邊長的1/2長度為半徑，作該正方形的內(nèi)切圓，則有圖５。
在圖5中，若把AB視為一根長度為“1”的杠桿，把C、D兩點的長度y2-y和y-y1分別視為杠桿兩端重物的重量，根據(jù)杠桿原理，則存在有：
AR =1-x, BR =x. x∈[0,1]
AR / BR = CQ /DQ ,
即(1-x)/x=(y-y1)/(y2-y).
y=xy1+(1-x)y2（4）
設C(x,y1),D(x,y2)，則C,D滿足圓方程：
(x-1/2)2+(y-1/2)2=1/4
其中
y1=1/2-,
y2=1/2+
代入式（4）得中國太極圖S曲線標準方程為：
y=1/2+(1-2x)，
x∈[0,1].（5）
令y'=0，即得：
x1=1/2-,x2=1/2+.
則y分別有最大值3/4和最小值1/4，由此可確定出中國標準太極圖（圖７）中的拐點坐標分別為（1/2-，3/4）和（1/2+，1/4），“魚眼”坐標分別為（1/2-，1/2）和（1/2+，1/2）。
式（4）說明了圓和正方形之間的關系，杠桿和重物盡管各屬于兩個不同的系統(tǒng)，但距離和重物兩個系統(tǒng)之間始終圍繞著一個力矩相等的平衡點保持著一個新系統(tǒng)的平衡，即盡管左右兩邊力臂長短不同，受力大小不同，但兩個系統(tǒng)陰陽值的比例相等，這既是阿基米德的杠桿原理，也是桿秤稱重物的原理，如圖６。對此，我國先秦時期的墨子早已有詳細論述。
式（5）說明當把直角坐標系中的x+y=1這條直線放在其內(nèi)切圓內(nèi)時，該直線則變形為式（5）的S曲線，如圖７。
四
世界猶如一個單位直角三角形，兩個直角邊有一個相反相成的屬性，像量子糾纏一樣，相互疊加、偶對平衡存在于一個事物之中；這個相反相成的屬性此消彼長、偶對平衡，但都始終恒等于“1”，從這個角度講，中國太極圖及其思想表達的核心就是偶對平衡、對立統(tǒng)一，就是關于“存在者之存在”的幾何表達，是對“存在”之根據(jù)的表述，是“being of beings”中的“being”，是“一即一切”中的“一”，它源于勾股定理，卻早已超越了勾股定理，不僅表達了歐拉公式的思想（eiθ·e-iθ=(cosθ+isinθ(cosθ-isinθ)=cos2θ+sin2θ=1），并且早已開啟了相對世界的大門，表達了在近現(xiàn)代才發(fā)展起來的現(xiàn)代數(shù)學模糊集合的重要思想?！跋摇辈荒艿韧凇靶?，其實并不“玄”。
英國學者李約瑟曾質疑中國古代技術為什么沒有產(chǎn)生科學，近代大儒梁漱溟先生則認為中國文化是早熟的文化。有的時候，可能真會覺得，真理之所以難以被人普遍接受，就是因為太簡單。在人們追逐物欲的物理世界里，后物理學顯得如此孤傲和凋零。但是，正如《論語·子張》中孔子的弟子子夏所說：“博學而篤志，切問而近思?！薄抖Y記·大學》說：“知止而后有定?！泵鎸茖W的日新月異，我們的確需要回到事物本身。玻爾建立的對應原理和并協(xié)原理與太極圖的聯(lián)系，證明太極圖的原理是具有科學性的，而太極圖的Ｓ曲線可以被數(shù)學函數(shù)所描述，更可以證明太極圖的圖形本身是體現(xiàn)了中國古代哲學家的數(shù)學智慧。當我們用數(shù)學函數(shù)Ｓ曲線證明了太極圖的科學性，我們就不能把這種合乎科學性的事實看作是一個偶然性，相反，我們應該認識到，只有合乎可以被函數(shù)描述的Ｓ曲線的太極圖，才是古代太極圖的本來面目。
哲學寓于現(xiàn)實又超于現(xiàn)實，是源于現(xiàn)實問題而又被高度凝練用來指導現(xiàn)實的學說?！吨芤住敷w現(xiàn)的是中國傳統(tǒng)文化中的“道統(tǒng)”，故而它理應是可以被“學統(tǒng)”所證明，被“政統(tǒng)”所遵循的。一個國家、一個民族的文化應是基于其道統(tǒng)基礎上的延伸，一個國家、一個民族文化內(nèi)涵的基因一定是它的道統(tǒng)本源，也是文化外延的依據(jù)，將道統(tǒng)、學統(tǒng)、政統(tǒng)三者融會貫通，且將文化內(nèi)涵的基因與文化的外延廣泛聯(lián)系起來的學說，則就是具有中國特色的哲學社會科學。習近平總書記在哲學社會科學工作座談會上的講話中指出：“哲學社會科學是人們認識世界、改造世界的重要工具，是推動歷史發(fā)展和社會進步的重要力量，其發(fā)展水平反映了一個民族的思維能力、精神品格、文明素質，體現(xiàn)了一個國家的綜合實力和國際競爭力?！弊鳛椤吨芤住匪枷氲臍v史展開，太極圖的出現(xiàn)使“一陰一陽謂之道”有了更加形象的表達。馬克思說：“當一門學科還不能被數(shù)學所充分表達的時候，說明它尚不完善。”太極圖是可以被數(shù)理方程所充分表達的標準圖，這無疑可以增強我們對以《周易》為重要組成部分的中國傳統(tǒng)文化的自信。
作者簡介：陳克恭，甘肅省中國特色社會主義理論體系研究中心研究員，西北師范大學黨委書記、研究員、博士生導師；馬如云，西北師范大學數(shù)學與統(tǒng)計學院院長、教授、博士生導師，第七屆“秦元勛數(shù)學獎”獲得者。
責任編輯：柳君
